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Aug 13, 2023

Le « théorème de la boule poilue » mathématique montre pourquoi il y a toujours au moins un endroit sur Terre où aucun vent ne souffle

Voici ce que le problème de mathématiques le plus délicat peut nous apprendre sur le vent, les antennes et la fusion nucléaire. Vous pourriez être surpris d'apprendre qu'on ne peut pas peigner les cheveux à plat sur une noix de coco sans créer un

Voici ce que le problème de mathématiques le plus délicat peut nous apprendre sur le vent, les antennes et la fusion nucléaire.

Vous pourriez être surpris d'apprendre que vous ne pouvez pas peigner les poils à plat sur une noix de coco sans créer un cowlick. Peut-être plus surprenant encore, cette affirmation idiote au nom encore plus idiot, « le théorème de la boule de poils », est une fière découverte d'une branche des mathématiques appelée topologie. L'humour juvénile mis à part, le théorème a des conséquences considérables en météorologie, en transmission radio et en énergie nucléaire.

Ici, « cowlick » peut signifier soit une calvitie, soit une touffe de cheveux dressée, comme celle que le personnage d'Alfalfa arbore dans « Les petits coquins ». Bien sûr, les mathématiciens ne font pas référence aux noix de coco ou aux cowlicks dans leur formulation du problème. Dans un langage plus technique, considérez la noix de coco comme une sphère et les cheveux comme des vecteurs. Un vecteur, souvent représenté par une flèche, est simplement quelque chose avec une grandeur (ou une longueur) et une direction. Peigner les cheveux à plat contre les côtés de la noix de coco formerait l'équivalent de vecteurs tangents, ceux qui touchent la sphère en exactement un point sur sa longueur. De plus, nous voulons un peigne lisse, donc nous ne permettons pas aux cheveux d'être séparés nulle part. En d’autres termes, la disposition des vecteurs sur la sphère doit être continue, ce qui signifie que les poils proches ne doivent changer de direction que progressivement et non brusquement. Si nous regroupons ces critères, le théorème dit que quelle que soit la manière dont vous essayez d'attribuer des vecteurs à chaque point d'une sphère, quelque chose de laid se produira forcément : il y aura une discontinuité (une partie), un vecteur de longueur nulle (une simple spot) ou un vecteur qui ne parvient pas à être tangent à la sphère (Alfalfa). Dans le jargon complet : un champ vectoriel tangent continu et non disparaissant sur une sphère ne peut pas exister.

Cette affirmation s’étend à toutes sortes de personnages à fourrure. Dans le domaine de la topologie, les mathématiciens étudient les formes, comme ils le feraient en géométrie, mais ils imaginent que ces formes sont constituées d'un caoutchouc toujours élastique. Bien que ce caoutchouc soit capable de se mouler sous d’autres formes, il est incapable de se déchirer, de fusionner ou de se traverser. Si une forme peut être déformée en douceur en une autre sans faire ces choses, alors ces formes sont équivalentes, en ce qui concerne les topologues. Cela signifie que le théorème de la boule poilue s’applique automatiquement aux cubes poilus, aux animaux en peluche poilus et aux battes de baseball poilues, qui sont tous topologiquement équivalents aux sphères. (Vous pouvez tous les modeler à partir d'une boule de Play-Doh sans enfreindre les règles caoutchouteuses.)

Votre cuir chevelu est quelque chose qui n’est pas équivalent à une sphère. Un cuir chevelu seul peut être aplati sur une surface et peigné dans une direction comme les fibres d'un tapis à poils longs. Malheureusement, les mathématiques ne peuvent pas excuser votre tête de lit. Les beignets sont également distincts des sphères, donc un beignet poilu – une image peu appétissante, sans aucun doute – peut être peigné en douceur.

Voici une curieuse conséquence du théorème de la boule poilue : il y aura toujours au moins un point sur Terre où le vent ne souffle pas sur la surface. Le vent circule en circulation continue autour de la planète, et sa direction et sa magnitude en chaque endroit de la surface peuvent être modélisées par des vecteurs tangents au globe. (Les magnitudes vectorielles n'ont pas besoin de représenter des longueurs physiques, comme celles des cheveux.) Cela répond aux prémisses du théorème, qui implique que les rafales doivent mourir quelque part (créant un cowlick). Un cowlick pourrait se produire dans l’œil d’un cyclone ou d’un tourbillon, ou cela pourrait se produire parce que le vent souffle directement vers le ciel. Cet outil en ligne soigné décrit les courants de vent à jour sur Terre et vous pouvez clairement repérer les cowlicks tourbillonnants.

Pour observer une autre ramification étrange du théorème, faites tourner un ballon de basket dans la direction que vous souhaitez. Il y aura toujours un point sur la surface dont la vitesse est nulle. Encore une fois, nous associons un vecteur tangent à chaque point en fonction de la direction et de la vitesse en ce point de la balle. La rotation est un mouvement continu, donc le théorème de la boule poilue s'applique et assure un point sans aucune vitesse. Après réflexion, cela peut paraître évident. Une balle en rotation tourne autour d'un axe invisible et les points situés à chaque extrémité de cet axe ne bougent pas. Et si nous percions un petit trou dans la balle exactement le long de cet axe pour supprimer les points fixes ? Il semble alors que chaque point serait en mouvement. Cela viole-t-il le théorème de la boule poilue ? Non, car percer un trou a transformé la boule en beignet ! Même les beignets dotés de trous inhabituellement longs et étroits bafouent les règles du théorème, ce qui évite la contradiction.